Une solution approchée

On considère la fonction $f$  définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$  par $f(x)=x^3-x^2-x-1$ .

1. On note $f^{\prime }$  la fonction dérivée de $f$ .
    a. Montrer que, pour tout réel $x$ ,  $f^{\prime }(x)=3(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})(x-1)$ .
    b. En déduire le tableau de variations de $f$  sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ .
    c. Déterminer l'abscisse du point de la courbe représentative de $f$  pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$ .

2. On note $x_0$ l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ . On admet que $x_0\in [1;2]$ .

  On considère la fonction suivante définie en langage Python.

$\begin{array}{||}\hline 1\mathtt{\text{def zero\_de\_f(n):}}\\ 2\mathtt{\text{a=}}1\\ 3\mathtt{\text{b=}}2\\ 4\mathtt{\text{for k in range(n):}}\\ 5\mathtt{\text{x=(a+b)/}}2\\ 6{\mathtt{\text{if x}}}^{\ast \ast }3{\mathtt{\text{-x}}}^{\ast \ast }2\mathtt{\text{-x}}-1<0:\\ 7\mathtt{\text{a=x}}\\ 8\mathtt{\text{else:}}\\ 9\mathtt{\text{b=x}}\\ 10\mathtt{\text{return a,b}}\\ \hline\end{array}$

    a. On applique cette fonction pour $n=3$ . Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.

    b. En déduire un encadrement de $x_0$ , d'amplitude $0,125$ , par deux nombres décimaux.