Une solution approchée

On considère la fonction \(f\)  définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\)  par \(f(x) =x^3 -x^2 -x-1\) .

1. On note \(f'\)  la fonction dérivée de \(f\) .
    a. Montrer que, pour tout réel \(x\) ,  \(f'(x) = 3\left(x + \dfrac{1}{3}\right)(x - 1)\) .
    b. En déduire le tableau de variations de \(f\)  sur \([0~;~ +\infty[\) .
    c. Déterminer l'abscisse du point de la courbe représentative de \(f\)  pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut \(7\) .

2. On note \(x_0\) l'unique solution de l'équation \(f(x) = 0\) . On admet que \(x_0 \in [1~;~2]\) .

  On considère la fonction suivante définie en langage Python.

\(\begin{array}{||}\hline1\quad\texttt{def zero_de_f(n):}\\2\quad\quad\texttt{a=}1\\3\quad\quad\texttt{b=}2\\4\quad\quad\texttt{for k in range(n):}\\5\quad\quad\quad\texttt{x=(a+b)/}2\\6\quad\quad\quad\texttt{if x}^{**}3\texttt{-x}^{**}2\texttt{-x}- 1<0:\\7\quad\quad\qquad\texttt{a=x}\\8\quad\qquad\texttt{else:}\\9\quad\quad\qquad\texttt{b=x}\\10\quad\;\;\texttt{return a,b}\\\hline\end{array}\)

    a. On applique cette fonction pour \(n = 3\) . Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.

    b. En déduire un encadrement de \(x_0\) , d'amplitude \(0,125\) , par deux nombres décimaux.